Mange studenter som studerte høyere matematikk i eldre år, lurte sannsynligvis på: hvor brukes differensiallikninger (DE) i praksis? Som regel blir ikke dette temaet diskutert i forelesninger, og lærere går straks videre til å løse DE uten å forklare studentene anvendelsen av differensiallikninger i det virkelige liv. Vi vil prøve å fylle dette hullet.
La oss starte med å definere en differensialligning. Så, en differensialligning er en ligning som forbinder verdien av en derivats funksjon med selve funksjonen, verdiene til den uavhengige variabelen og noen tall (parametere).
Det vanligste området der differensiallikninger brukes, er den matematiske beskrivelsen av naturfenomener. De brukes også til å løse problemer der det er umulig å etablere en direkte sammenheng mellom noen verdier som beskriver en prosess. Slike problemer oppstår i biologi, fysikk, økonomi.
I biologi:
Den første meningsfulle matematiske modellen som beskriver biologiske samfunn var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en bestand av to interagerende arter. Den første av dem, kalt rovdyr, i fravær av den andre, dør ut i henhold til loven x ′ = –ax (a> 0), og den andre - byttedyr - i fravær av rovdyr multipliserer på ubestemt tid i samsvar med loven av Malthus. Samspillet mellom disse to typene er modellert som følger. Ofre dør ut med en hastighet som er lik antall møter med rovdyr og byttedyr, som i denne modellen antas å være proporsjonal med størrelsen på begge populasjoner, dvs. lik dxy (d> 0). Derfor er y ′ = by - dxy. Rovdyr reproduserer med en hastighet proporsjonal med antall spiste byttedyr: x ′ = –ax + cxy (c> 0). System av ligninger
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = av - dxy, (2)
rovdyr-byttet som beskriver en slik befolkning kalles Lotka-Volterra-systemet (eller modellen).
I fysikk:
Newtons andre lov kan skrives i form av en differensialligning
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), hvor m er kroppens masse, x er dens koordinat, F (x, t) er kraften som virker på kroppen med koordinaten x på tidspunktet t. Dens løsning er kroppens bane under påvirkning av den spesifiserte kraften.
I økonomi:
Modell for naturlig vekst av produksjonen
Vi antar at noen produkter selges til en fast pris P. La Q (t) betegne mengden produkter solgt på tidspunktet t; på dette tidspunktet er inntekten lik PQ (t). La en del av den spesifiserte inntekten brukes på investeringer i produksjon av solgte produkter, dvs.
I (t) = mPQ (t), (1)
hvor m er investeringsgraden - et konstant tall og 0
